Question

Cho \(\Delta\)ABC. Trên các tia AB, BC, CA lấy các điểm M, N, P theo thứ tự sao cho BM = AC, CN = AB, AP = BC. Chứng minh tích các diện tích của tam giác APB, BMC, CNA bằng lập phương diện tích \(\Delta\)ABC

Answer 1

Giải

Gọi BH là đường cao kẻ từ B của \(\Delta\)ABC, ta có:

S_ABP = \(\frac{1}{2}\)BH . AP

S_ABC = \(\frac{1}{2}\)BH . AC

Suy ra \(\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\frac{AP}{AC}\)

Tương tự \(\frac{S_{ACN}}{S_{ABC}}=\frac{CN}{BC}\) ; \(\frac{S_{CBM}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{AB}\)

Suy ra \(\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}.\frac{S_{ACN}}{S_{ABC}}.\frac{S_{CBM}}{S_{ABC}}=\frac{AP}{AC}.\frac{CN}{BC}.\frac{BM}{AB}=\frac{BC.AB.AC}{AC.BC.AB}=1\)

Vậy S_ABP . S_ACN . S_CBM = (S_ABC)³

Answer 2

Bạn vẽ hình nha: Kẻ đường cao AH của tam giác ABN ta có:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACN}}=\dfrac{\dfrac{AH.BC}{2}}{\dfrac{AH.CN}{2}}=\dfrac{BC}{CN}=\dfrac{BC}{AB}\left(1\right)\)

Kẻ đường cao CK của tam giác ACM lại có:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{BCM}}=\dfrac{\dfrac{CK.AB}{2}}{\dfrac{CK.BM}{2}}=\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AB}{AC}\left(2\right)\)

Kẻ đường cao BI của tam giác BCP lại có:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABP}}=\dfrac{\dfrac{BI.AC}{2}}{\dfrac{BI.AP}{2}}=\dfrac{AC}{AP}=\dfrac{AC}{BC}\left(3\right)\)'

Từ (1),(2),(3) ta có:

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABP}}.\dfrac{S_{ABC}}{S_{BCM}}.\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACN}}=\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}=1\) hay:

\(\dfrac{S_{ABC}^3}{S_{ABP}.S_{BCM}.S_{ACN}}=1\Leftrightarrow S^3_{ABC}=S_{ABP}.S_{BCM}.S_{ACN}\left(đpcm\right)\)