Question

Cho \(\Delta\)ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. Nối B với D, C với D.

a, Chứng minh AC = BD, AC //BD;

b, Cho \(\widehat{BAC}\) = \(90^0\). Tính \(\widehat{BDC}\)

Answer 1

a) Xét △AMC và △BMD có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=MD\left(gt\right)\\\widehat{AMC}=\widehat{BMD}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\\MB=MC\left(\text{vì M là trung điểm của BC}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) △AMC và △DMB (c.g.c)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BD\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\\widehat{CAM}=\widehat{BDM}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

Có: \(\widehat{CAM}=\widehat{BDM}\left(cmt\right)\)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) AC // BD (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét △AMB và △DMC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=MD\left(gt\right)\\\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\\MB=MC\left(\text{vì M là trung điểm của BC}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\text{△AMB = △DMC}\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\)

Xét △ABC và △DBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=DC\left(cmt\right)\\AC=BD\left(cmt\right)\\BC:\text{ cạnh chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\text{△ABC = △DCB}\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

Mà \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{BDC}=90^o\)

Answer 2

a) Xét 2 \(\Delta\) \(DBM\) và \(ACM\) có:

\(BM=CM\) (vì M là trung điểm của \(BC\))

\(\widehat{DMB}=\widehat{AMC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(DM=AM\) (vì M là trung điểm của \(AD\))

=> \(\Delta DBM=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)

=> \(BD=AC\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\widehat{DBM}=\widehat{ACM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AC\) // \(BD.\)

Chúc bạn học tốt!