Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A ( AB > AC ), AH là đường cao. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm A lấy điểm D sao cho tam giác DBC cân tại D. Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt BC tại E. Chứng minh rằng:
a, \(DE\perp BC\)
b, BD, AH, DH có độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
Bài hình đề học sinh giỏi huyện, mọi người giúp phần b với ạ!
Tự vẽ hình nha
a)Biết rồi thì khỏi giải nha
b)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao
\(\Rightarrow AH^2=BH\cdot HC\)(1)
Xét \(\Delta DEH\) vuông tại E có
\(ED^2+EH^2=DH^2\)(định lý pytago)(2)
Cộng (1) và (2)
\(\Rightarrow AH^2+DH^2=BH\cdot HC+DE^2+EH^2\)(3)
Vì \(\Delta\)DBC cân tại D
\(\Rightarrow DB=DC\)
Xét \(\Delta DEC\) vuông tại E có
\(DE^2+EC^2=DC^2\)(định lý pytago)
Hay \(DE^2+\left(EH+HC\right)^2=DC^2\)
\(DC^2=DE^2+EH^2+2EH\cdot HC+HC^2\)
\(DC^2=DE^2+EH^2+HC\left(2EH+HC\right)\)
\(DC^2=DE^2+EH^2+HC\left(EH+HC+EH\right)\)
\(DC^2=DE^2+EH^2+HC\left(EC+EH\right)\)
Hay \(DC^2=DE^2+EH^2+HC\left(EB+EH\right)\)
\(DC^2=DE^2+EH^2+HC\cdot HB\left(4\right)\)
Từ (3) và (4)\(\Rightarrow DC^2=AH^2+DH^2\)
Hay \(DB^2=AH^2+DH^2\)
Vậy ....
