Lời giải:
a)
Sử dụng công thức về tia phân giác ta có:
\(\frac{DI}{AI}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{BD}{AB+BD}(1)\)
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow BD=\frac{AB.BC}{AB+AC}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{\frac{AB.BC}{AB+AC}}{AB+\frac{AB.BC}{AB+AC}}=\frac{AB.BC}{AB(AB+BC+AC)}=\frac{BC}{AB+BC+AC}=\frac{a}{a+b+c}\)
Ta có đpcm.
b)
Sử dụng kết quả phần a:
\(\frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}\)
Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có:
\(\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}; \frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}\)
Do đó:
\(\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Ta có đpcm.
