Lời giải:
a)
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{FBC}\)
Xét tam giác $FBC$ có:
\(\widehat{FBC}+\widehat{BFC}+\widehat{FCB}=180^0\)
\(\Rightarrow \widehat{FBC}+\widehat{BFC}=180^0-\widehat{FCB}=180^0-90^0=90^0=\widehat{FCB}\)
\(\Rightarrow \widehat{BFC}=\widehat{FCB}-\widehat{FBC}=\widehat{FCB}-\widehat{ACB}\)
\(=\widehat{ACF}\)
Do đó , tam giác $AFC$ cân tại $A$ , suy ra \(AF=AC\)
Mà $AB=AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)
\(\Rightarrow AF=AB\)
Vậy $A$ là trung điểm của $BF$ (đpcm)
b)
$A$ là trung điểm $FB$, $N$ là trung điểm $FC$ nên $AN$ là đường trung bình của tam giác $FBC$
\(\Rightarrow AN\parallel BC\)
Tương tự, $AM$ là đường trung bình của tam giác $BFC$
\(\Rightarrow AM\parallel FC\)
Mà \(BC\perp FC\Rightarrow AM\perp AN\) (đpcm)
c)
Dễ thấy $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $BF$ của tam giác $BFC$
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}BF=AB=AC\)
Ta có đpcm.
