Cho ΔABC vuông tại A có AB AC , đường cao AH và trung tuyến AE. Gọi D E, lần lượt là hình chiếu của E trên AB AC , . a) Chứng minh BDFE là hình bình hành. b) Chứng minh DFEH là hình thang cân. c) Lấy M sao cho F là trung điểm của EM và N sao cho F là trung điểm của BN . Chứng minh A N M , , thẳng hàng
a: Sửa đề; F là hình chiếu của E trên AC
Xét tứ giác ADEF có \(\widehat{ADE}=\widehat{AFE}=\widehat{FAD}=90^0\)
nên ADEF là hình chữ nhật
=>FE//AD
=>FE//AB
Ta có: ADEF là hình chữ nhật
=>ED//AF
=>ED//AC
Xét ΔABC có
E là trung điểm của BC
ED//AC
Do đó: D là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
E là trung điểm của BC
EF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Ta có: ADEF là hình chữ nhật
=>FE=AD
mà AD=DB
nên FE=DB
Xét tứ giác BDFE có
BD//FE
BD=FE
Do đó: BDFE là hình bình hành
b: ΔHAC vuông tại H
mà HF là đường trung tuyến
nên AC=2HF(1)
Ta có: ED=AF
mà AC=2AF(F là trung điểm của AC)
nên AC=2ED(2)
Từ (1),(2) suy ra HF=ED
Xét ΔABC có
D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DF là đường trung bình của ΔABC
=>DF//BC và \(DF=\dfrac{1}{2}BC\)
Vì DF//BC
nên DF//EH
Xét tứ giác DHEF có
EH//FD
=>DHEF là hình thang
Hình thang DHEF có DE=HF
nên DHEF là hình thang cân
c: Xét tứ giác AECM có
F là trung điểm chung của AC và EM
=>AECM là hình bình hành
=>AM//CE
=>AM//CB
Xét tứ giác ABCN có
F là trung điểm chung của AC và BN
=>ABCN là hình bình hành
=>AN//BC
ta có: AM//CB
AN//BC
mà AM,AN có điểm chung là A
nên A,M,N thẳng hàng
nhọn ( AB < AC) có 3 đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H. 
