Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là trung điểm BC. Trên tia AE lấy điểm D sao cho E là trung điểm của AD.
a) Chứng minh: Tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Trên tia CA lấy điểm K sao cho A là trung điểm của CK. Gọi F là trung điểm BK. Chứng minh: Tứ giác ACEF là hình bình hành.
c) Từ D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H, tia DH cắt đường thẳng FA tại I. Chứng minh: Tứ giác FIEB là hình thang cân.
d) Chứng minh góc FIB = góc CDI.
a) Trong \(\Delta ABC\) vuông tại A có: AE là đường trung tuyến ứng với BC
\(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}BC=BE=EC\)
Ta có: E là tđ của AD; E là tđ của BC
\(\Rightarrow\) AD và BC là 2 đường chéo trog tứ giác ABDC cắt nhau tại tđ E (1)
Vì AE = ED mà AE = BE (c/m trên)
=> AE = ED = BE = EC
=> AE + ED = BE + EC
=> AD = BC (2)
Từ (1) và (2) => ABDC là HCN.
b) Trong \(\Delta BKC\) có:
F là tđ của BK; E là tđ của BC
=> EF là đường tb => \(EF//=\dfrac{1}{2}CK=AC\)
=> ACEF là HBH
c) C/m: AE là đường tb trong \(\Delta BCK\)
=> AE // BK
=> \(\widehat{BFI}=\widehat{EAI}\) (đồng vị) (*)
C/m: AF là đg tb trog \(\Delta BCK\)
=> AF // BC hay AI // EH
mà E là tđ của AD (3) => H là tđ của ID
Khi đó kết hợp vs (3) đc EH là đg tb trog \(\Delta ADI\)
=> EH // AI => \(\widehat{DHE}=\widehat{AID}=90^o\)
=> \(\Delta AID\) vuông tại I
Lại có trog tg AID có EI là trung tuyến ứng với AD
=> \(EI=\dfrac{1}{2}AD=AE=ED\)
=> \(\Delta AEI\) cân tại E
=> \(\widehat{EAI}=\widehat{EIA}\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat{BFI}=\widehat{EIA}\)
=> FIEB là hthang cân.
d) Gọi O là giao điểm của BI và EF
Theo kết quả câu c c/m đc:
OF = OI => \(\Delta OFI\) cân tại O
=> \(\widehat{OFI}=\widehat{OIF}\) mà \(\widehat{OFI}=\widehat{ECA}\) (góc đối HBH)
=> \(\widehat{OIF}=\widehat{ECA}\) (a)
Lại có: \(\widehat{ECA}+\widehat{DCH}=90^o\)
\(\widehat{DCH}+\widehat{CDI}=90^o\)
Khi đó: \(\widehat{ECA}=\widehat{CDI}\) (b)
Từ (a) và (b) => \(\widehat{OIF}=\widehat{CDI}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{FIB}=\widehat{CDI}\).
