Do vai trò của M; N như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(y\ge x\)
Từ M kẻ MH vuông góc AC \(\Rightarrow\) H nằm giữa A và N
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MH=AM.sin60^0=\frac{x\sqrt{3}}{2}\\AH=AM.cos60^0=\frac{x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow NH=AN-AH=y-\frac{x}{2}\)
Pitago: \(MN^2=MH^2+NH^2=\frac{3}{4}x^2+\left(y-\frac{x}{2}\right)^2\)
\(=x^2+y^2-xy\)
Mặt khác:
\(\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)
\(\Leftrightarrow2ax+2ay-2xy=a^2+xy\)
\(\Leftrightarrow-xy=a^2+2xy-2ax-2ay\)
Thay lên trên:
\(MN^2=x^2+y^2-xy=x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay\)
\(\Leftrightarrow MN^2=\left(a-x-y\right)^2\Rightarrow MN=a-x-y\)
