Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
 Thiên Vũ MG

cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), AH là đường cao. Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tâm giác ABC cắt AB,AC thứ tự tại M,N. CMR \(\frac{1}{AM^2}\)+\(\frac{1}{AN^2}\)\(\frac{9}{BC^2}\)

Trần Thanh Phương
22 tháng 11 2019 lúc 20:45

Hỏi đáp Toán

Kẻ AG cắt BC tại P; kẻ AQ vuông góc với MN.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AMN ta có :

\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AQ^2}\)

Lại có \(AQ\le AG\) ( vì AG là đường cao trong tam giác AQG )

Do đó \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{AG^2}\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\(AG=\frac{2}{3}AP=\frac{2\cdot AP}{3}=\frac{2\cdot BP}{3}=\frac{BC}{3}\) ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{BC}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{BC^2}{9}}=\frac{9}{BC^2}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MN\perp AP\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phương Linh
Xem chi tiết
Angla Nguyễn
Xem chi tiết
The Godlin
Xem chi tiết
Dii Quèngg
Xem chi tiết
Thanh Thảo Thái Thị
Xem chi tiết
lekhoi
Xem chi tiết
The Godlin
Xem chi tiết
LỚP TRƯỞNG ĐÂY
Xem chi tiết
illumina
Xem chi tiết