Question

cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), AH là đường cao. Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tâm giác ABC cắt AB,AC thứ tự tại M,N. CMR \(\frac{1}{AM^2}\)+\(\frac{1}{AN^2}\)≥\(\frac{9}{BC^2}\)

Answer 1

Kẻ AG cắt BC tại P; kẻ AQ vuông góc với MN.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AMN ta có :

\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AQ^2}\)

Lại có \(AQ\le AG\) ( vì AG là đường cao trong tam giác AQG )

Do đó \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{AG^2}\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\(AG=\frac{2}{3}AP=\frac{2\cdot AP}{3}=\frac{2\cdot BP}{3}=\frac{BC}{3}\) ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{BC}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{BC^2}{9}}=\frac{9}{BC^2}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MN\perp AP\)