Question

Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD tại H, CK vuông góc với AE tại K. Chứng minh rằng:
a)ΔABD=ΔACE
b)ΔAHB=ΔAKC
c)ΔADE là tam giác gì? Vì sao?
d)BC//HK

Answer 1

a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ABC cân tại A -gt)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\end{matrix}\right.\) (kề bù)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A -gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

b) Xét \(\Delta AHB;\Delta AKC\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (do \(\Delta ABD=\Delta ACE\) -cmt)

=> \(\Delta AHB=\Delta AKC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Từ \(\Delta ABD=\Delta ACE\) - câu a

=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ADE\) có :

\(AD=AE\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A (đpcm)

d) Xét \(\Delta AHK\) có :

\(AH=AK\) (do \(\Delta AHB=\Delta AKC\) - câu b)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

Nên ta có : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ADE\) cân tại A (câu c) có :

\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> HK // DE

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}B\in DE\\C\in DE\end{matrix}\right.\)

Do đó : \(\text{BC // HK (đpcm) }\)

Answer 2

a) Vì tam giác ABC cân tại A => góc ABC = góc ACB ( tính chất tam giác cân )

Ta có : góc ABC + góc ABD = 180^o ( hai góc kề bù ) ; góc ACB + góc ACE = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc ABC = góc ACB ( tam giác ABC cân tại A ) => góc ABD = góc ACE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE , có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

góc ABD = góc ACE ( chứng minh trên )

BD = CE ( gt )

=> tam giác ABD = tam giác ACE ( c-g-c )

Vậy tam giác ABD = tam giác ACE ( c-g-c )

b) Xét tam giác AHB và tam giác AKC , có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

góc AHB = góc AKC ( = 90^o )

góc HAB = góc KAC ( tam giác ABD = tam giác ACE )

=> tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền - góc nhọn)

Vậy tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền - góc nhọn)

c) Vì tam giác ABD = tam giác ACE ( chứng minh trên ) => AD = AE ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác ADE cân tại A

Vậy tam giác ADE là tam giác cân

d) Vì tam giác AHB = tam giác AKC ( chứng minh trên ) => AH = AK ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác AHK cân tại A => góc AHK = góc AKH ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác AHK cân tại A : góc HAK + góc AHK + góc AKH = 180^o ( định lý tổng ba góc trong một tam giác )

=> góc AHK = góc AKH = 180^o - góc HAK / 2 ( 1 )

Xét tam giác ADE cân tại A => góc ADE = góc AED ( tính chất tam giác cân ) : góc DAE + góc ADE + góc AED = 180^o ( định lý tổng ba góc trong một tam giác )

=> góc ADE = góc AED = 180^o - góc DAE / 2 ( 2 )

Từ (1) và (2) => góc AHK = góc ADE mà hai góc ở vị trí đồng vị nên HK // DE hay HK // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy HK // BC ( đpcm )

****** Chúc bn hc tốt ***********