Question

Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d có các hệ số a, b, c, d nguyên.

Biết P(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng minh: a; b; c; d chia hết cho 5

Answer 1

Ta có:

\(P\left(0\right)=d\)

=> d chia hết cho 5

\(P\left(1\right)=a+b+c+d\)

=> a + b + c chia hết cho 5 (1)

\(P\left(-1\right)=-a+b-c+d\) chia hết cho 5 (2)

Cộng (1) và (2) ta được:

2b + 2d chia hết cho 5

Mà d chia hết cho 5 => 2d chia hết cho 5

=> 2b chia hết cho 5

=> b chia hết cho 5

\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d\) chia hết cho 5

=> 8a + 2c chia hết cho 5 ( Vì 4b + d chia hết cho 5 )

=> 6a + 2a + 2c chia hết cho 5

=> 6a + 2( a + c ) chia hết cho 5

=> 2( a + c ) chia hết cho 5 ( Vì a + b + c chia hết cho 5, b chia hết cho 5 )

=> 6a chia hết cho 5

=> a chia hết cho 5

=> c chia hết cho 5

Vậy a ; b ; c ; d chia hết cho 5