Question

Cho đa thức P(x) = \(a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\) . Trong đó, các hệ số a, b, c, d là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.

Answer 1

Ta có:

\(P\left(0\right)=a.0+b.0+c.0+d=d⋮5\Rightarrow d⋮5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\\P\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\left(1\right)+P\left(-1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b+2d⋮5\) , mà \(d⋮5\Rightarrow2b⋮5\Rightarrow b⋮5\) (do 2 không chia hết cho 5)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\\b⋮5\\d⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+c⋮5\Rightarrow2a+2c⋮5\) (1)

Lại có \(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\) (2)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow P\left(2\right)+2a+2c⋮5\)

\(\Rightarrow10a+4b+4c+d⋮5\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}10⋮5\Rightarrow10a⋮5\\b⋮5\Rightarrow4b⋮5\\d⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow4c⋮5\Rightarrow c⋮5\) (do 4 không chia hết cho 5)

\(\left\{{}\begin{matrix}a+c⋮5\\c⋮5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a⋮5\)

Vậy \(a,b,c,d\) đều chia hết cho 5