Question

Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-4.\)Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức f(x) chia hết cho giá trị đa thức \(x^2+2\)

Answer 1

\(f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)+x+2\)

Để \(f\left(x\right)⋮x^2+2\Leftrightarrow x+2⋮x^2+2\)

Đặt \(\frac{x+2}{x^2+2}=k\in Z\)

\(k+1=\frac{x^2+x+4}{x^2+2}=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{2}}{x^2+2}>0\Rightarrow k>-1\)

\(k-1=\frac{-x^2}{x^2+2}\le0\Rightarrow k\le1\)

Mà \(k\in Z\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(k=0\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=0\Rightarrow x=-2\)

- Với \(k=1\Rightarrow\frac{x+2}{x^2+2}=1\Leftrightarrow x^2=x\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)