Question

cho ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D trên tia đối của CB lấy E sao cho BD =CE. Các đường thẳng vuông góc với BD từ D,E cắt AB,AC lần lượt tại M,N. Gọi I là giao điểm của MN,BC

a) Biết AB<BC CM: \(\widehat{A}\)>

b)IM=IN

c)Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm khi D thay đổi trên BC

Answer 1

a) Có ΔABC cân tại A

=> \(\widehat{B}=\widehat{ACB}\)

Mà: \(\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{B}=\widehat{NCE}\)

Xét ΔMBD và ΔNCE ta có:

\(\widehat{B}=\widehat{NCE}\) (cmt)

BD = CE (GT)

\(\widehat{MDB}=\widehat{NEC}\left(=90^0\right)\)

=> ΔMBD = ΔNCE (g - c - g)

=> MD = NE (2 cạnh tương ứng)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}MD\perp BD\left(GT\right)\\NE\perp BD\left(GT\right)\end{matrix}\right.\) => MD // NE

=> \(\widehat{DMI}=\widehat{INE}\) (so le trong)

Xét ΔMDI và ΔNEI ta có:

\(\widehat{DMI}=\widehat{INE}\) (cmt)

MD = NE (cmt)

\(\widehat{MDI}=\widehat{NEI}\left(=90^0\right)\)

=> ΔMDI = ΔNEI (g - c - g)

=> MI = NI (2 cạnh tương ứng)

c) Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:

Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC ta có:

Cạnh huyền AB = AC (GT)

Cạnh góc vuông AH: chung

=> ΔAHB = ΔAHC (c.h - c.g.v)

=> \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (2 góc tương ứng)

Gọi O là giao điểm của AH với đường vuông góc với MN tại I.

Xét ΔABO và ΔACO ta có:

AB = AC (GT)

\(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\) (cmt)

AH: cạnh chung

=> ΔABO = ΔACO (c - g - c)

=> \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\) (2 góc tương ứng) (1)

(từ đoạn này trở đi mình chỉ hướng dẫn cách chứng minh thôi vì dài quá)

Chứng minh: ΔOIM = ΔOIN (c - g - c)

=> OM = ON (2 cạnh tướng ứng) (2)

Chứng minh: ΔOBM = ΔOCN

=> \(\widehat{MBO}=\widehat{NCO}\) (2 góc tương ứng) (3)

Lại có: N thuộc tia đối AC (GT) nên C thuộc đoạn AN

Ta có: \(\widehat{ACO}+\widehat{NCO}=180^0\) (kề bù)

Từ (1); (2) và (3) => \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=\widehat{OCN}=90^0\)

=> Điểm O cố định vì OB vuông góc với AB tại B và OC vuông góc với AC tại C (hay OB và OC duy nhất)
Vậy: Đường thằng vuông góc MN tại I cắt tại điểm O cố định khi D thay đổi trên BC

P/s: Mik vẽ hình môt lúc cái nó rối luôn rồi nên ko cho bạn xem hình đc!