Question

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:

\(\frac{x}{2008}=\frac{y}{2009}=\frac{z}{2010}\)

Chứng minh rằng:

\(z-x=2\sqrt{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

Bạn phải thêm đk \(x,y,z\) là những số không âm.

Đặt \(\frac{x}{2008}=\frac{y}{2009}=\frac{z}{2010}=k(k\geq 0)\Rightarrow x=2008k; y=2009k; z=2010k\)

Khi đó:
\(z-x=2010k-2008k=2k\)

\(\left\{\begin{matrix} x-y=2008k-2009k=-k\\ y-z=2009k-2010k=-k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 2\sqrt{(x-y)(y-z)}=2\sqrt{(-k)(-k)}=2\sqrt{k^2}=2|k|=2k\)

Do đó: \(z-x=2\sqrt{(x-y)(y-z)}\)

Ta có đpcm.