Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y

Answer 1

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x+6+y+6\right)\) (BĐT cosi)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)-24\le0\)

Ta đặt \(x+y=m\)

\(m^2-2m-24\le0\)

\(\Leftrightarrow-4\le m\le6\)

\(\Rightarrow P_{max}=6\Leftrightarrow x=y=3\)