Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thanh Hiền

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn \(x-y-xy=3\) . Tìm GTNN của biểu thức \(A=x^2+y^2\)

Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 5 2019 lúc 12:17

\(x-3=y\left(x+1\right)\Rightarrow y=\frac{x-3}{x+1}\)

\(A=x^2+\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^2=x^2+\left(1-\frac{4}{x+1}\right)^2=x^2+1-\frac{8}{x+1}+\frac{16}{\left(x+1\right)^2}\)

\(=\left(x+1\right)^2-2x-\frac{8}{x+1}+\frac{16}{\left(x+1\right)^2}=\left(x+1\right)^2+\frac{16}{\left(x+1\right)^2}-2\left(x+1+\frac{4}{x+1}\right)+2\)

Đặt \(x+1+\frac{4}{x+1}=a\Rightarrow a^2=\left(x+1\right)^2+\frac{16}{\left(x+1\right)^2}+8\) (\(\left|a\right|\ge4\))

\(\Rightarrow A=a^2-8-2a+2=a^2-2a-6\)

- Nếu \(a\le-4\Rightarrow A=\left(a+4\right)^2-10a-22\ge-10a-22\ge40-22=18\)

- Nếu \(a\ge4\Rightarrow A=\left(a-4\right)^2+6a-22\ge6a-22\ge24-22=2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\) khi \(a=4\Rightarrow x+1+\frac{4}{x+1}=4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Lil Shroud
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết