Phép nhân và phép chia các đa thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
TRẦN MINH NGỌC

Cho các số thực dương xyz thỏa mãnx+y+z=3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\ge\dfrac{3}{2}\)

Akai Haruma
26 tháng 2 2018 lúc 23:43

Lời giải:

Ta có:

\(A=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{y(y+1)}+\frac{1}{z(z+1)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{1}\geq \frac{4}{x+1}\) và tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng lại:

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\geq 4\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\right)(2)\)

Từ (1); (2) suy ra \(A\geq \frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\right)\)

Mà theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)

Do đó: \(A\geq \frac{3}{4}(3-1)=\frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Việt Long
Xem chi tiết
Linh
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Hoàng Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Việt ANh
Xem chi tiết
Loveduda
Xem chi tiết
Trần Ngọc Bích
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết