Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
jgfhjudfhuvfghdf

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z=3\)

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\)

Phương An
12 tháng 7 2017 lúc 16:57

\(P=\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\)

\(=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}+\dfrac{1}{y\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z+1}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) và BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+1+\dfrac{1}{y}+1+\dfrac{1}{z}+1\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}\)

\(\ge\dfrac{3}{4}\left[\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right]-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{9}{3}-1\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1.

Min P = 1,5 <=> x = y = z = 1.

Nguyễn Quang Định
13 tháng 7 2017 lúc 12:57

T xài phương pháp chuẩn hóa thử, lên C3 có gặp mấy bài này chém dễ dàng, có sai thì đừng ném đá nha :vv.

Ta chứng minh BĐT sau:

\(\dfrac{1}{x^2+x}\ge-0,75x+1,25\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) ( Để ra cái BĐT này t dùng casio, ra cái này là ra hết bài :D )

Thật vậy: \(\dfrac{1}{x^2+x}+0,75x-1,25\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+0,75x\left(x^2+x\right)-1,25\left(x^2+x\right)}{x^2+x}\ge0\)

\(\Rightarrow1+0,75x^3+0,75x^2-1,25x^2+1,25x\ge0\)

\(\Rightarrow0,75\left(x-1\right)^2\left(x+\dfrac{4}{3}\right)\ge0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) (BĐT này luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+y}\ge-0,75y+1,25\)

\(\dfrac{1}{z^2+z}\ge-0,75z+1,25\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được: \(P\ge-0,75\left(x+y+z\right)+1,25.3\)

\(P\ge1\)

Vậy Min P =1 khi x=y=z =1

jgfhjudfhuvfghdf
19 tháng 7 2017 lúc 10:16

Cảm ơn hết


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đặng Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Wanna One
Xem chi tiết
Hoang Thiên Di
Xem chi tiết
lê duy nhất
Xem chi tiết
Chi Linh
Xem chi tiết
goku son
Xem chi tiết
Hải Đăng
Xem chi tiết
Chu Lương Tâm
Xem chi tiết