Lời giải:
Từ điều kiện \(x+y+z+2=xyz\) ta có một đẳng thức rất đẹp là \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2(*)\)
(lớp 9 mình đã rất sung sướng khi phát hiện ra nó, dù không mới mẻ. Tất nhiên không thể tự nhiên mà có được đẳng thức như thế này, nó tùy thuộc vào khả năng suy luận ngược hoặc thói quen biến đổi các đẳng thức cơ bản)
Khi đó, áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\((x+1+y+1+z+1)\left(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\right)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Leftrightarrow 2(x+y+z+3)\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+6\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
