Question

Cho các số thực a , b thỏa mãn : \(a^3+b^3=2\) Chứng minh rằng \(a+b\le2\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(a^3+b^3=2\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=2>0\)

Mà \(a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0\), do đó \(a+b>0\)

Xét hiệu:

\(4(a^3+b^3)-(a+b)^3=4(a^3+b^3)-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\)

\(=3(a^3+b^3-a^2b-ab^2)\)

\(=3[a^2(a-b)-b^2(a-b)]=3(a^2-b^2)(a-b)=3(a+b)(a-b)^2\)

 

Do \(a+b>0\Rightarrow 3(a+b)(a-b)^2\geq 0\Rightarrow 4(a^3+b^3)-(a+b)^3\geq 0\)

\(\Rightarrow 4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3\Leftrightarrow (a+b)^3\leq 8\)

\(\Leftrightarrow a+b\leq 2\)

Ta có đpcm.