Question

Cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A=\left(1+\dfrac{x^2}{y^2}\right)\left(1+\dfrac{y^2}{x^2}\right)\)

Answer 1

Vì x + y = 2 và x, y nguyên dương nên \(x=y=1\)

Khi đó A = 4.

Vậy A_min = 4

Answer 2

+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\)

Dấu "=" <=> a=b.

Do đó : \(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2x}{y}\forall x,y\\1+\dfrac{y^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\forall x,y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y}{x}=4\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}=1\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)( do a + b = 2 )

Vậy Min A = 4 <=> x = y = 1