Question

Cho các số hữu tỉ x=a/b; y=c/d; z= a+c/b+d

Chứng minh rằng nếu x < y thì x < z < y

Áp dụng: Viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữ tie -1/2 và -1/3

Answer 1

Vì \(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\)  nên ad < bc    (1)

Xét tích : a(b+d) =  ab + ad     (2)

                b(a+c) = ba + bc        (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra a(b+d) < b(a+c) do đó \(\frac{a}{b}\)  < \(\frac{a+c}{b+d}\)      (4)

Tương tự ta có : \(\frac{a+c}{b+d}\)  < \(\frac{c}{d}\)         (5)

Kết hợp (4);(5) ta được \(\frac{a}{b}\)  < \(\frac{a+c}{b+d}\)  < \(\frac{c}{d}\)   

hay x < z < y