Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
My Phạm

Cho các só dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của :

\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)

Acoustic
18 tháng 1 2018 lúc 20:34

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(xy+y+1\right)}\)

Tương tự cho 2 BĐT trên rồi cộng theo vế:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xyz}{xy+y+xyz}+\dfrac{x}{xyz+xz+x}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz+x+1}+\dfrac{x}{xz+x+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{xz+x+1}{xz+x+1}=\dfrac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
:vvv
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Suzanna Dezaki
Xem chi tiết
Yuki Nguyễn
Xem chi tiết