Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Tiền Châu

cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Lightning Farron
25 tháng 9 2017 lúc 21:09

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b+1}{8}+\dfrac{c+1}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\cdot\dfrac{b+1}{8}\cdot\dfrac{c+1}{8}}=\dfrac{3a}{4}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c+1}{8}+\dfrac{a+1}{8}\ge\dfrac{3b}{4};\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{a+1}{8}+\dfrac{b+1}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT+\dfrac{2\left(a+b+c+3\right)}{8}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{2\left(3\sqrt[3]{abc}+3\right)}{8}\ge\dfrac{3\cdot3\sqrt[3]{abc}}{4}\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}=VP\)

Khi \(a=b=c=1\)

Nhật Minh
25 tháng 9 2017 lúc 20:51

khó


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Herimone
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Trần Thị Thùy Dương
Xem chi tiết