Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
EDOGAWA CONAN

cho các số dương a , b , c thỏa mãn : ab + ac + bc =1

CMR \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 1 2019 lúc 16:56

\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{a+b+a+c}{2}=\dfrac{2a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+a^2}\le\dfrac{2a+b+c}{2}\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+b^2}\le\dfrac{2b+a+c}{2}\\\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{2c+a+b}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết