Ta có: \(x:y:z=a:b:c\)
\(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}.\)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{matrix}\right.\)
Lại có:
\(\left(x+y+z\right)^2=\left(ak+bk+ck\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=k^2.\left(a+b+c\right)^2\)
Mà \(a+b+c=1\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=k^2.1^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=k^2.1\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=k^2\) (1).
Có:
\(x^2+y^2+z^2=\left(ak\right)^2+\left(bk\right)^2+\left(ck\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=k^2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=1\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=k^2.1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=k^2\) (2).
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Ta có :
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\)
(Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Suy ra :
\(\frac{x^2}{a^2}^{ }=\frac{y^2}{b^2}^{ }=\frac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)
