Question

Cho các số a, b, c và x, y, z thoả mãn:

x = by+cz; y = ax+cz; z = ax+by và x+y+z khác 0; x.y.z khác 0.

Hãy tính giá trị của biểu thức: A = \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\).

Answer 1

Ta có: \(x+y+z=by+cz+ax+cz+ax+by=2\left(ax+by+cz\right)\)Thay \(z=ax+by\)

\(\Rightarrow x+y+z=2\left(z+cz\right)=2z\left(1+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2z}{x+y+z}\)

Tương tự:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{2x}{x+y+z}\\\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2y}{x+y+z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)Vậy A=2