Question

Cho các số a, b, c, thỏa mãn: a + b+ c = \(\dfrac{3}{2}\)

Chứng minh rằng: a² + b² + c² ≥ \(\dfrac{3}{4}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Có ai có cách giải khác k ạ ?NhưNhã Doanhchú tuổi gìTrịnh Thị Thúy VânMashiro Shiinalê thị hương giangNguyễn Trúc Maingonhuminh

Lê BùiKien NguyenNguyễn Huy TúAkai HarumaAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiPhương AnHoàng Lê Bảo NgọcVõ Đông Anh TuấnTrần Việt Linh

Answer 3

Áp dụng BĐT Bunyakovsky:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right).\left(1^2+1^2+1^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\le3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

Answer 4

Cách khác: ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

BĐT này tương đương với \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng, bn tự chứng minh)

Áp dụng vào ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge\)

\(\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3}=\dfrac{3}{4}\)