Question

Cho các số a, b, c thỏa mãn 1 \(\ge\)a, b, c \(\ge\)0. Chứng minh rằng :

\(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)

Answer 1

Vì \(1\ge a,b,c\ge0\)\(\Rightarrow b^2\le b;c^3\le c\)

\(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\) (1)

Vì \(1\ge a,b,c\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\)

Mà \(a,b,c\ge0\Rightarrow abc\ge0\Rightarrow-abc\le0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)