Cho biểu thức: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)
a) Rút gọn \(P\)
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P< 0\).
c) Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(\frac{1}{P}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne4;9\)
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\left(\frac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)
\(P< 0\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}< 0\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow x< 4\Rightarrow x=\left\{0;1;2;3\right\}\)
\(Q=\frac{1}{P}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Do \(\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow Q\le1-3=-2\)
\(\Rightarrow Q_{min}=-2\) khi \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)
