bài 1, cho biểu thức: A=\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
a, Tìm điều kiện xác định, và rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị của A khi x=\(3-2\sqrt{2}\)
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
bài 2, Cho biểu thức: A=\(\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{1-\sqrt{xy}}+1\right):\left(1-\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{xy}+1}\right)\)
a, Rút gọn biểu thức, ta được A=1 b, cho \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)tìm MAX A
1.
a,
\(A\text{ xác định }\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\\x-\sqrt{x}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\\x\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\text{Vậy A xác định }\Leftrightarrow x>0\text{ và }x\ne1\)
\(A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\frac{x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)=\frac{x-2}{\sqrt{x}}\)
b, \(x=3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}=\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1\)
\(A=\frac{x-2}{\sqrt{x}}=\frac{3-2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-1}\)
\(=\frac{1-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=-\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}-1}=-3-\sqrt{2}\)
1.a)\(ĐKXĐ:\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\\x-\sqrt{x}\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\\x\ne0;x\ne1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{x+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\frac{x+2}{\sqrt{x}}\)
b)\(x=3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\)
Thay x vào A ta được
\(A=\frac{3-2\sqrt{2}+2}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+6-1-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\)(vì \(\sqrt{2}>1\))
\(=\frac{\sqrt{2}\left(1+3\sqrt{2}\right)-\left(1+3\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(1+3\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}-1}=1+3\sqrt{2}\)
c)\(A=\frac{x+2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{2}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\)
\(\Rightarrow Min_A=2\sqrt{2}\) khi x=2
c, \(A=\frac{x+2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}.2}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}\)
\(GTNN\text{ của A bằng }2\sqrt{2}\)
\(\text{Dấu }"=``\text{ xảy ra }\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=2\)
Kết quả rút gọn: \(A=\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)
<=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{\sqrt{xy}}=36\) (1)
Với x,y>0=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)(bđt cosi vs hai số dương)
Từ (1) => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
<=> \(36\ge\frac{4}{\sqrt{xy}}\)
<=>\(9\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
hay \(9\ge A\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{9}\)(t/m)