Question

Cho biểu thức \(M=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}:\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

a) Rút gọn \(M\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của \(M\)

Ai giúp với ạ. Em cần gấp

Answer 1

ĐKXĐ: x>0

a) M = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

b) Ta có: M \(-\frac{1}{3}\)= \(\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3}=\frac{3\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{-\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)\(\le0\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{3}\)

Vậy max M = \(\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn)

Lí do trừ M cho 1/3 đi là bạn nhân chéo rồi dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để làm tức là Δ\(\ge0\)

Từ đó giải BPT thì dự đoán max là 1/3 rồi từ đó ta có hướng giải