Bài 7: Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Luyện tập

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Online Math

Cho biểu thức D=\(\dfrac{\left(2!\right)^2}{1^2}+\dfrac{\left(2!\right)^2}{3^2}+...+\dfrac{\left(2!\right)^2}{2015^2}\)

So sánh D với 6

(2! là 1.2=2)

Akai Haruma
29 tháng 3 2018 lúc 0:31

Lời giải:

Ta có: \(D=(2!)^2\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+....+\frac{1}{2015^2}\right)\)

Xét số hạng tổng quát dạng \(\frac{1}{(2n+1)^2}\) với \(n\in\mathbb{N}\ge 1\)

Ta có: \((2n+1)^2-2n(2n+2)=1>0\)

\(\Rightarrow (2n+1)^2> 2n(2n+2)\Rightarrow \frac{1}{(2n+1)^2}< \frac{1}{2n(2n+2)}\)

Do đó: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.4}\\ \frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.6}\\ .....\\ \frac{1}{2015^2}< \frac{1}{2014.2016}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2015^2}< 1+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+....+\frac{1}{2014.1016}\)

\(\Leftrightarrow \frac{D}{(2!)^2}< 1+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+....+\frac{1}{2014.2016}\)

\(\Leftrightarrow D< 4\left(1+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+....+\frac{1}{2014.2016}\right)\)

\(\Leftrightarrow D< 4+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{1007.1008}\)

\(\Leftrightarrow D< 4+\frac{2-1}{1,2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{1008-1007}{1007.1008}\)

\(\Leftrightarrow D< 4+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{107}-\frac{1}{1008}\)

\(\Leftrightarrow D< 5-\frac{1}{1008}< 5< 6\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hoàng Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến
Xem chi tiết
Nguyễn Hữu Quang
Xem chi tiết
Đỗ Diệp Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến
Xem chi tiết
Shine Anna
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Châu
Xem chi tiết
Vũ Cẩm Tú
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Ngân
Xem chi tiết