Bài 6: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
AF.Khánh Phương

Cho biểu thức :

\(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+4\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

a) Rút gọn A ?

b) Tìm giá trị của A khi x = \(\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}\)

c) Tìm giá trị của x để \(\sqrt{A}>A\)

Đức Minh
24 tháng 6 2017 lúc 8:36

ĐKXĐ : \(x\ne1;x\ne0;x>0\)

a) \(A=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}-1\right)^2+4\sqrt{x}\cdot\left(x-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1-\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+4x\sqrt{x}-4\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{4x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=4x\)

b) \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}\cdot\left(2-\sqrt{6}\right)}{-2}=\dfrac{2\sqrt{6}-6}{-2}=3-\sqrt{6}\)

Suy ra : \(A=4\cdot\left(3-\sqrt{6}\right)=12-4\sqrt{6}\)

c) \(\sqrt{A}>A\Leftrightarrow\sqrt{4x}>4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}>4x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-4x>0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\cdot\left(1-2\sqrt{x}\right)>0\)

\(\Rightarrow1-2\sqrt{x}>0\) (do x > 0 nên \(2\sqrt{x}>0\))

\(\Leftrightarrow1>2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}>\sqrt{x}\Rightarrow x< \dfrac{1}{4}\)

Theo điều kiện suy ra giá trị của x để \(\sqrt{A}>A\)\(0< x< \dfrac{1}{4}\)

qwerty
24 tháng 6 2017 lúc 8:44

a) \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}+4\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+4\sqrt{x}\right)\cdot\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{2\cdot2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+4\sqrt{x}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+4\sqrt{x}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}+4\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=4\sqrt{x}\cdot\left[1+\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\right]\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

\(=4\left(1+x-1\right)\)

\(=4x\)

b) Thay \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}\) vào biểu thức A.

Ta có:

\(4\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}\cdot\left(2-\sqrt{6}\right)}{-2}\\ =-2\sqrt{6}\cdot\left(2-\sqrt{6}\right)=-4\sqrt{6}+12\)

Vậy giá trị biểu thức A tại \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}}\)\(-4\sqrt{6}+12\)

c) Để \(\sqrt{A}>A\)

\(\Rightarrow\sqrt{4x}>4x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x}>4x\left(đk:x\ge0\right)\)


Các câu hỏi tương tự
....
Xem chi tiết
Khánh San
Xem chi tiết
....
Xem chi tiết
vũ linh
Xem chi tiết
vũ linh
Xem chi tiết
....
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
....
Xem chi tiết