Question

Cho biểu thức \(A=\dfrac{x+8}{x\sqrt{x}+8}+\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}+4}+\dfrac{\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}}{x-4}\) với \(0\le x< 4\)

Rút gọn biểu thức A . Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.

Answer 1

\(A=\dfrac{x+8+\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}+8}+\dfrac{2-\sqrt{x}}{x-4}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}+8}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+10-x+2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+4\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\dfrac{3}{x-2\sqrt{x}+4}\)

Để A là số nguyên thì \(x-2\sqrt{x}+4\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1=0\)

=>x=1