Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Văn Quyết

cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3}{b^2+3}+\dfrac{b^3}{c^2+3}+\dfrac{c^3}{a^3+3}\ge\dfrac{3}{4}\) help me!!!!

Akai Haruma
5 tháng 4 2018 lúc 15:20

Lời giải:

Do \(3=ab+bc+ac\) nên ta có:

\(P=\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\)

\(=\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ac}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ac}\)

\(=\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\)

Cộng các BĐT trên vào và rút gọn:

\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{4}(1)\)

Ta có một hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM đó là:

\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 9\)

\(\Rightarrow a+b+c\geq 3(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow P\geq \frac{3}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Trần Thị Hà Phương
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Sendaris Thalleous
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết
Văn Quyết
Xem chi tiết