Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Tấn Dũng

Cho \(a\ge b>0\)\(c\ge\sqrt{ab}\).

Chứng minh: \(\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

tran nguyen bao quan
11 tháng 10 2018 lúc 19:00

Ta có \(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow c^2\ge ab\Leftrightarrow c^2-ab\ge0\Leftrightarrow c\left(c^2-ab\right)\ge0\Leftrightarrow c^3-abc\ge0\Leftrightarrow\left(c^3-abc\right)\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow ac^3-a^2bc-bc^3+ab^2c\ge0\Leftrightarrow ab^2c+ac^3\ge a^2bc+bc^3\Leftrightarrow ac\left(b^2+c^2\right)\ge bc\left(a^2+c^2\right)\Leftrightarrow\dfrac{ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow1+\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge1+\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ac+c^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{b^2+2bc+c^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+c\right)^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}\left(đpcm\right)\)

Hung nguyen
11 tháng 10 2018 lúc 19:25

Cần chứng minh

(a + c)²(b² + c²) ≥ (b + c)²(a² + c²)

<=> 2c(a - b)(c² - ab) ≥ 0

Cái này đúng.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Trương Thị Hải Anh
Xem chi tiết
Bùi Đức Huy Hoàng
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Đặng Dung
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
ZoZ - Kudo vs Conan - Zo...
Xem chi tiết