Question

Cho \(A=\dfrac{x^3}{1+y}+\dfrac{y^3}{1+x}\), trong đó x,y>0 thỏa mãn: xy=1

\(CMR:A\ge1\)

Answer 1

\(A=\dfrac{x^3}{y+1}+\dfrac{y^3}{x+1}=\dfrac{x^4y}{xy+y}+\dfrac{xy^4}{xy+x}\)

\(=\dfrac{x^4}{x+1}+\dfrac{y^4}{y+1}\). Ta có BĐT phụ

\(\dfrac{x^4}{x+1}\ge\dfrac{7}{4}x-\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(4x^2+8x+5\right)}{4\left(x+1\right)}\ge0\) (đúng)

Tương tự ta cũng có:\(\dfrac{y^4}{y+1}\ge\dfrac{7}{4}y-\dfrac{5}{4}\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên và áp dụng BĐT AM-GM có:

\(A\ge\dfrac{7}{4}\left(x+y\right)-\dfrac{5}{4}\cdot2\ge\dfrac{7}{4}\cdot2\sqrt{xy}-\dfrac{5}{4}\cdot2=1\)

Khi \(x=y=1\)