Xét \(x^2+ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1=a^2-4b\)
\(x^2+cx+d=0\) (2) có \(\Delta_2=c^2-4d\)
Ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)
- Nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2>0\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất một trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2>0\Rightarrow\) ít nhất (1) hoặc (2) có nghiệm hay pt đã cho luôn có nghiệm
- Nếu \(b+d>0\)
\(\frac{ac}{b+d}\ge2\Leftrightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay (1) hoặc (2) luôn có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho luôn có nghiệm
