Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dilan

cho a,b,c>=0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của P=(a-b)(b-c)(a-c)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2021 lúc 22:30

\(P^2=\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(a-c\right)^2\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)^2\le b^2\\\left(a-c\right)^2\le a^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P^2\le\left(a-b\right)^2a^2b^2=\dfrac{1}{4}\left(a^2-2ab+b^2\right).\left(2ab\right).\left(2ab\right)\le\dfrac{1}{108}\left(a^2-2ab+b^2+2ab+2ab\right)^3\)

\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{108}\left(a+b\right)^6\le\dfrac{1}{108}\left(a+b+c\right)^6=\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2};\dfrac{3+\sqrt{3}}{2};0\right)\) và các hoán vị


Các câu hỏi tương tự
Ok Hello
Xem chi tiết
Cấn Minh Khôi
Xem chi tiết
Xuan Xuannajimex
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Ggghjh
Xem chi tiết
linh phạm
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết