§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Lê Trung Kiên

Cho a,b,c>0 thoả mãn a2+b2+c2=1

CMR: \(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ac+b^2}}\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\)

Lightning Farron
21 tháng 1 2017 lúc 20:51

Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\(\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2 \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}\)

Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Lightning Farron
21 tháng 1 2017 lúc 20:43

bài này cuốn hút thật, lâu lắm ms thấy . xí bài này nhé nghĩ đã lát quay lại làm


Các câu hỏi tương tự
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Linh Châu
Xem chi tiết
Linh Châu
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Thiều Khánh Vi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
muon tim hieu
Xem chi tiết
Lightning Farron
Xem chi tiết