Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Annie Scarlet

Cho a,b,c>0

C/m: \(1+\sqrt[3]{abc}\le\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

Trần Thanh Phương
8 tháng 7 2019 lúc 11:12

Áp dụng bđt Cô-si :

+) \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

+) \(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Cộng theo vế của 2 bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{1}{1+a}+\frac{a}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{b}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{c}{1+c}\ge3\cdot\frac{\sqrt[3]{abc}+1}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\ge3\cdot\frac{\sqrt[3]{abc}+1}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\Leftrightarrow3\ge3\cdot\frac{\sqrt[3]{abc}+1}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{\sqrt[3]{abc}+1}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+1\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ngọc Lan Tiên Tử
8 tháng 7 2019 lúc 11:22

Trần Thanh Phương có một cách còn đơn giản hơn là :

ta thấy

\(\left\{{}\begin{matrix}a< a+1\\b< b+1\\c< c+1\end{matrix}\right.\)

=> \(\sqrt[3]{abc}< \sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

=> \(1+\sqrt[3]{abc}< \sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

(\(\le\)??) :v

tthnew
8 tháng 7 2019 lúc 13:48

Em có cách này nhưng ko chắc lắm vì mới học thôi.

Do BĐT trên là thuần nhất (thật ra em thường hay hiểu là đồng bậc hơn) nên ta chuẩn hóa abc = 1. Ta cần chứng minh:

\(\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\) (Lập phương hai vế)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+abc+1\ge8\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)

Nhưng BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM(Cô si) cho 6 số: \(VT\ge6\sqrt[6]{\left(abc\right)^3}=6\)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi ab = bc = ca = a = b = c

Hay a = b = c = 1 Tức trong trường hợp tổng quát thì a = b = c


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nue nguyen
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Lâm ngọc mai
Xem chi tiết
Lê Anh Khoa
Xem chi tiết