Question

Cho △ABC vuông cân tại B.Điểm I ∈BC, kẻ CE⊥AI.

a)Cho AB=8cm,BI=6cm.Tính AI,BM,AM.

b)Chứng minh 4 điểm A,B,E,C cùng thuộc 1 đường tròn tâm O.

c) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường tròn tâm O tại D,cắt AI tại F.Chứng minh ABCD là hình vuông.

Answer 1

b: Xét tứ giác CEBA có

\(\widehat{CEA}=\widehat{CBA}=90^0\)

Do đó: CEBA là tứ giác nội tiếp

hay C,E,B,A cùng thuộc một đường tròn

Answer 2

a) Xét △ABI vuông tại B, đường cao BM (BM⊥AI). Ta có:

\(AI^{2}=AB^{2}+BI^{2}=8^{2} +6^{2}=100 \)

⇒AI=\(\sqrt{100} \)=10 (cm)

AB.BI=BM.AI (Hệ thức lượng)

⇒BM=\(\dfrac{AB.BI}{AI}=\dfrac{8.6}{10}=4,8 (cm) \)

\(AB^{2}=AM.AI =>AM=\dfrac{AB^{2} }{AI} \)⇒AM=6,4 cm 

Vậy AI=10cm ; AM=6,4 cm ; BM= 4,8 cm

b)Ta có ΔABC vuông tại B⇒3 điểm A,B,C thuộc đường tròn tâm O, đường kính AC. (1)

             ΔAEC vuông tại B⇒ 3 điểm A,E,C thuộc đường tròn tâm O, đường kính AC.(2)

Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm A,B,C,E cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính AC.

c) Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp ΔADC,có:

AC là đường kính 

⇒ΔADC vuông tại D⇒ \(\widehat{ADC} \)= \(90^o\)

Xét tứ giác ADEB, có:

\(\widehat{ADC} \)=\(90^o\)

\(\widehat{ABC } \)=\(90^o\)

\(\widehat{DCB} \)=\(90^o\)

⇒Tứ giác ADEB là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết)

Ta có AB=BC ( Tam giác ABC vuông cân tại B)

⇒Hình chữ nhật ADEB là hình vuông.