Question

Cho a,b,c thuộc [1;2] Hãy chứng minh \(\dfrac{1}{4+a-ab}+\dfrac{1}{4+b-bc}+\dfrac{1}{4+c-ca}\ge\dfrac{3}{3+abc}\)

Answer 1

\(1\le a,b,c\le2\)

\(\Rightarrow1-b\le0\)\(\Rightarrow a\left(1-b\right)\le0\Rightarrow a-ab\le0\Rightarrow4+a-ab\le4\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4+a-ab}\ge\dfrac{1}{4}\) tương tự rồi cộng các BĐT vế theo vế ta được

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4+a-ab}+\dfrac{1}{4+b-bc}+\dfrac{1}{4+c-ca}\ge\dfrac{3}{4}\)

ta c.m \(\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{3+abc}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{3+abc}\Rightarrow3+abc\ge4\Rightarrow abc\ge1\)

BĐT cuối luôn đúng do \(a,b,c\ge1\)