Question

Cho a,b,c lần lượt là các số thực dương thỏa mãn :

a²+b²+c²=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\)

CMR: \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

Answer 1

Nguyễn Bùi Đại Hiệp xem lại đề nhé bạn, dạng đề như này thì dữ kiện đầu phải là \(a+b+c=5\) nhé.

Answer 2

Sửa đề : cho a,b,c là các số thực thỏa \(a+b+c=5\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

Bài làm :

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=9\)

\(\Leftrightarrow5+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2\)

Khi đó : \(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)

Tương tự : \(\left\{{}\begin{matrix}b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\\c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có biến đổi của vế trái :

\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\)

\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\cdot\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\cdot\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}}\)

\(VT=\frac{2\cdot2}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

\(VT=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}=VP\) ( đpcm )

p/s: làm hơi tắt một chút, mong bạn thông cảm.