Question

Cho a,b,c là số đo các cạnh của tam giác.. Chứng minh rằng :

a² + b² +c² < 2(ab + ac + bc)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có :

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab+ac>a^2\\ba+bc>b^2\\ca+cb>c^2\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế ta được : 2 (ab + ac + bc ) > a² + b² + c²

Answer 2

Áp dụng BĐT tam giác ta được:

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Suy ra: ac + bc > c^2 (1)

ab + ac > a^2 (2)

ab + bc > b^2 (3)

Lấy (1) + (2) + (3) ta được:

a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm)