Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{2p-a-b}=\dfrac{4}{c}\)
\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{2p-b-c}=\dfrac{4}{a}\)
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{2p-a-c}=\dfrac{4}{b}\)
Cộng theo vế:
\(2VT\ge4VP\Leftrightarrow VT\ge2VP\Leftrightarrowđpcm\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 4
chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+8>9\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 0\(\le t\le1\)
CMR: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c-ta}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c-tb}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-tc}}\ge2\sqrt{t+1}\)
Biết a+b+c=2p.CMR:\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+a-b\right)^2}\)\(\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{a}{2b+2c-a}+\dfrac{b}{2c+2a-b}+\dfrac{c}{2a+2b-c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:
1, \(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a-b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^n}\ge\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\)
2, \(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\ge4^n\left[\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+2b+c\right)^n}+\dfrac{1}{\left(a+b+2c\right)^n}\right]\)
cho a,b,c dương. CMR: \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)
Cho a, b, c là độ dài của một tam giác . CM:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{9}{a+b+c}\ge4\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
