Ta chứng minh bất đẳng thức:
\(4\left(a^3+b^3+c^3\right)+15abc\ge\left(a+b+c\right)^3\left(1\right)\).
Thật vậy, ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)+9abc\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\).
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\). (*)
Ta có: \(a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\le a^2\).
Tương tự: \(\left(b-c+a\right)\left(b+c-a\right)\le b^2;\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\).
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên lại với chú ý \(a+b-c;b+c-a;c+a-b>0\) ta được:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\).
Suy ra (*) đúng. (1) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Thay a + b + c = 2 vào (1) ta có: \(4\left(a^3+b^3+c^3\right)+15abc\ge8\).
Vậy Min P = 8 khi a = b = c = \(\frac{2}{3}\).
