Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a+b+c=1. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}\ge30\)

Answer 1

\(VT=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(VT\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

\(VT\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)

\(VT\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)